A. Operasi Hitung Bentuk Aljabar

Di Kelas VII, kamu telah mempelajari pengertian bentuk aljabar, koefisien, variabel, konstanta, suku, dan suku sejenis. Untuk mengingatkanmu kembali, pelajari contoh-contoh berikut.

1. 2pq                4. x² + 3x –2
2. 5x + 4            5. 9x² – 3xy + 8
3. 2x + 3y –5

Bentuk aljabar nomor (1) disebut suku tunggal atau suku satu karena hanya terdiri atas satu suku, yaitu 2pq. Pada bentuk aljabar tersebut, 2 disebut koefisien, sedangkan p dan q disebut variabel karena nilai p dan q bisa berubah-ubah. Adapun bentuk aljabar nomor (2) disebut suku dua karena bentuk aljabar ini memiliki dua suku, sebagai berikut.

1. Suku yang memuat variabel x, koefisiennya adalah 5.
2. Suku yang tidak memuat variabel x, yaitu 4, disebut konstanta. Konstanta adalah suku yang nilainya tidak berubah.

Sekarang, pada bentuk aljabar nomor (3), (4), dan (5), coba kamu tentukan manakah yang merupakan koefisien, variabel, konstanta, dan suku?

1. Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Aljabar

Pada bagian ini, kamu akan mempelajari cara menjumlahkan dan mengurangkan suku-suku sejenis pada bentuk aljabar. Pada dasarnya, sifat-sifat penjumlahan dan pengurangan yang berlaku pada bilangan riil, berlaku juga untuk penjumlahan dan pengurangan pada bentuk-bentuk aljabar, sebagai berikut.

a. Sifat Komutatif
     a + b = b + a, dengan a dan b bilangan riil
b. Sifat Asosiatif
    (a + b) + c = a + (b +c), dengan a, b, dan c bilangan riil
c. Sifat Distributif
    a (b + c) = ab + ac, dengan a, b, dan c bilangan riil

Agar kamu lebih memahami sifat-sifat yang berlaku pada bentuk aljabar, perhatikan contoh-contoh soal berikut.

Contoh Soal : Sederhanakan bentuk-bentuk aljabar berikut. a. 6mn + 3mn b. 16x + 3 + 3x + 4 c. –x – y + x – 3 d. 2p – 3p2 + 2q – 5q2 + 3p e. 6m + 3(m2 – n2) – 2m2 + 3n2 Jawab: a. 6mn + 3mn = 9mn b. 16x + 3 + 3x + 4 = 16x + 3x + 3 + 4      = 19x + 7 c. –x – y + x – 3 = –x + x – y – 3      = –y – 3 d. 2p – 3p2 + 2q – 5q2 + 3p = 2p + 3p – 3p2 + 2q – 5q2      = 5p – 3p2 + 2q – 5q2      = –3p2 + 5p – 5q2 + 2q e. 6m + 3(m2 – n2) – 2m2 + 3n2 = 6m + 3m2 – 3n2 – 2m2 + 3n2     = 6m + 3m2 – 2m2 – 3n2 + 3n2     = m2 + 6m Contoh Soal : Tentukan hasil dari: a. penjumlahan 10x2 + 6xy – 12 dan –4x2 – 2xy + 10, b. pengurangan 8p2 + 10p + 15 dari 4p2 – 10p – 5. Jawab: a. 10x2 + 6xy – 12 + (–4x2 – 2xy + 10) = 10x2 – 4x2 + 6xy – 2xy – 12 + 10      = 6x2 + 4xy – 2 b. (4p2 – 10p – 5) – (8p2 + 10p + 15) = 4p2 – 8p2 – 10p –10p – 5 – 15      = –4p2 – 20p – 20

2. Perkalian Bentuk Aljabar

Perhatikan kembali sifat distributif pada bentuk aljabar. Sifat distributif merupakan konsep dasar perkalian pada bentuk aljabar. Untuk lebih jelasnya, pelajari uraian berikut.
a. Perkalian Suku Satu dengan Suku Dua
Agar kamu memahami perkalian suku satu dengan suku dua bentuk aljabar, pelajari contoh soal berikut.

Contoh Soal : Gunakan hukum distributif untuk menyelesaikan perkalian berikut.   a. 2(x + 3)              c. 3x(y + 5)   b. –5(9 – y)             d. –9p(5p – 2q) Jawab: a. 2(x + 3) = 2x + 6                c. 3x(y + 5) = 3xy + 15x b. –5(9 – y) = –45 + 5y           d. –9p(5p – 2q) = –45p2 + 18pq

b. Perkalian Suku Dua dengan Suku Dua
Agar kamu memahami materi perkalian suku dua dengan suku dua bentuk aljabar, pelajari contoh soal berikut.

Contoh Soal : Tentukan hasil perkalian suku dua berikut, kemudian sederhanakan.  a. (x + 5)(x + 3)               c. (2x + 4)(3x + 1)  b. (x – 4)(x + 1)                d. (–3x + 2)(x – 5) Jawab: a. (x + 5)(x + 3) = (x + 5)x + (x + 5)3                            = x2 + 5x + 3x + 15                            = x2 + 8x + 15 b. (x – 4)(x + 1) = (x – 4)x + (x – 4)1                           = x2 – 4x + x – 4                           = x2 – 3x – 4 c. (2x + 4)(3x + 1) = (2x + 4)3x + (2x + 4)1                                = 6x2 + 12x + 2x + 4                                = 6x2 + 14x + 4 d. (–3x + 2)(x – 5) = (–3x + 2)x + (–3x + 2)(–5)                               = –3x2 + 2x + 15x – 10                               = –3x2 + 17x – 10 Contoh Soal : Diketahui sebuah persegipanjang memiliki panjang (5x + 3) cm dan lebar (6x– 2) cm. Tentukan luas persegipanjang tersebut. Jawab: Diketahui : p = (5x + 3) cm dan l = (6x – 2) cm Ditanyakan : luas persegipanjang Luas = p × l          = (5x + 3)(6x – 2)          = (5x + 3)6x + (5x + 3)(–2)          = 30x2 + 18x – 10x – 6          = 30x2 + 8x – 6 Jadi, luas persegipanjang tersebut adalah (30x2 + 8x – 6) cm2

Amati kembali Contoh Soal. Ternyata perkalian dua suku bentuk aljabar (a + b) dan (c + d) dapat ditulis sebagai berikut.
             (a + b)(c + d) = (a + b)c + (a + b)d
                                    = ac + bc + ad + bd
                                    = ac + ad + bc + bd
Secara skema, perkalian ditulis:

Cara seperti ini merupakan cara lain yang dapat digunakan untuk menyelesaikan perkalian antara dua buah suku bentuk aljabar. Pelajari contoh soal berikut.

Contoh Soal : Selesaikan perkalian-perkalian berikut dengan menggunakan cara skema.  a. (x + 1)(x + 2)                c. (x – 2)(x + 5)  b. (x + 8)(2x + 4)              d. (3x + 4)(x – 8) Jawab: a. (x + 1)(x + 2) = x2 + 2x + x + 2                           = x2 + 3x + 2 b. (x + 8)(2x + 4) = 2x2 + 4x + 16x + 32                              = 2x2 + 20x + 32 c. (x – 2)(x + 5) = x2 + 5x –2x –10                          = x2 + 3x – 10 d. (3x + 4)(x –8) = 3x2 – 24x + 4x – 32                            = 3x2 – 20x – 32

3. Pembagian Bentuk Aljabar

Pembagian bentuk aljabar akan lebih mudah jika dinyatakan dalam bentuk pecahan. Pelajarilah contoh soal berikut.

Contoh Soal : Tentukan hasil pembagian berikut.   a. 8x : 4                    c. 16a2b : 2ab   b. 15pq : 3p              d. (8x2 + 2x) : (2y2 – 2y) Jawab:

4. Perpangkatan Bentuk Aljabar

Di Kelas VII, kamu telah mempelajari definisi bilangan berpangkat. Pada bagian ini materi tersebut akan dikembangkan, yaitu memangkatkan bentuk aljabar. Seperti yang telah kamu ketahui, bilangan berpangkat didefinisikan sebagai berikut.

Untuk a bilangan riil dan n bilangan asli.

Definisi bilangan berpangkat berlaku juga pada bentuk aljabar. Untuk lebih jelasnya, pelajari uraian berikut.

a. a⁵ = a × a × a × a × a
b. (2a)³ = 2a × 2a × 2a = (2 × 2 × 2) × (a × a × a) = 8a³
c. (–3p)⁴ = (–3p) × (–3p) × (–3p) × (–3p)
               = ((–3) × (–3) × (–3) × (–3)) × (p × p × p × p) = 81p⁴
d. (4x²y)² = (4x2y) × (4x2y) = (4 × 4) × (x² × x²) × (y × y) = 16x⁴y²

Sekarang, bagaimana dengan bentuk (a + b)²? Bentuk (a + b)² merupakan bentuk lain dari (a + b) (a + b). Jadi, dengan menggunakan sifat distributif, bentuk (a + b)² dapat ditulis:

(a + b)² = (a + b) (a + b)
= (a + b)a + (a + b)b
= a² + ab + ab + b²
= a² + 2ab + b²

Dengan cara yang sama, bentuk (a – b)² juga dapat ditulis sebagai:

(a – b)² = (a – b) (a – b)
= (a – b)a + (a – b)(–b)
= a² – ab – ab + b²
= a² – 2ab + b²

Contoh Soal :

Selanjutnya, akan diuraikan bentuk (a + b)³, sebagai berikut.

(a + b)³ = (a + b) (a + b)²
             = (a + b) (a² + 2ab + b²)                                  (a+b)² = a² + 2ab + b²
             = a(a² + 2ab + b² ) + b (a² + 2ab + b² )         (menggunakan cara skema)
             = a³ + 2a²b + ab² + a²b + 2ab² + b³              (suku yang sejenis dikelompokkan)
             = a³ + 2a²b + a²b + ab² +2ab² + b³               (operasikan suku-suku yang sejenis)           
             = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

Untuk menguraikan bentuk aljabar (a + b)², (a + b)³, dan (a + b)⁴, kamu dapat menyelesaikannya dalam waktu singkat. Akan tetapi, bagaimana dengan bentuk aljabar (a + b)⁵, (a + b)⁶, (a + b)⁷, dan seterusnya? Tentu saja kamu juga dapat menguraikannya, meskipun akan memerlukan waktu yang lebih lama. Untuk memudahkan penguraian perpangkatan bentuk-bentuk aljabar tersebut, kamu bisa menggunakan pola segitiga Pascal . Sekarang, perhatikan pola segitiga Pascal berikut.

Hubungan antara segitiga Pascal dengan perpangkatan suku dua bentuk aljabar adalah sebagai berikut.

Sebelumnya, kamu telah mengetahui bahwa bentuk aljabar (a + b)² dapat diuraikan menjadi a² + 2ab + b². Jika koefisien-koefisiennya dibandingkan dengan baris ketiga pola segitiga Pascal, hasilnya pasti sama, yaitu 1, 2, 1. Ini berarti, bentuk aljabar (a + b)² mengikuti pola segitiga Pascal. Sekarang, perhatikan variabel pada bentuk a² + 2ab + b². Semakin ke kanan, pangkat a semakin berkurang (a² kemudian a). Sebaliknya, semakin ke kanan pangkat b semakin bertambah (b kemudian b²). Jadi, dengan menggunakan pola segitiga Pascal dan aturan perpangkatan variabel, bentuk-bentuk perpangkatan suku dua (a + b)³, (a + b)⁴, (a + b)⁵, dan seterusnya dapat diuraikan sebagai berikut.

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
(a + b)⁴ = a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴
(a + b)⁵ = a⁵ + 5a⁴b + 10a³b² + 10a²b³ + 5ab⁴ + b⁵
dan seterusnya.

Perpangkatan bentuk aljabar (a – b)ⁿ dengan n bilangan asli juga mengikuti pola segitiga Pascal. Akan tetapi, tanda setiap koefisiennya selalu berganti dari (+) ke (–), begitu seterusnya. Pelajarilah uraian berikut.
(a – b)² = a² – 2ab + b²
(a – b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³
(a – b)⁴ = a⁴ – 4a³b + 6a²b² – 4ab³ + b⁴
(a – b)⁵ = a⁵ – 5a⁴b + 10a³b² – 10a²b³ + 5ab⁴ – b⁵